3.1. Полярные координаты

На плоскости часто применяется полярная система координат . Она определена, если задана точка O, называемая полюсом , и исходящий из полюса луч (для нас это ось Ox) – полярная ось. Положение точки M фиксируется двумя числами: радиусом (или радиус-вектором) и углом φ между полярной осью и вектором . Угол φ называется полярным углом; измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.

Положение точки в полярной системе координат задается упорядоченной парой чисел (r; φ). У полюса r = 0, а φ не определено. Для всех остальных точек r > 0, а φ определено с точностью до слагаемого кратного 2π. При этом парам чисел (r; φ) и (r 1 ; φ 1) сопоставляется одна и та же точка, если .

Для прямоугольной системы координат xOy декартовы координаты точки легко выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

3.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy .

Любому комплексному числу z=(a, b) ставится в соответствие точка плоскости с координатами (x, y ), где координата x = a, т.е. действительной части комплексного числа, а координата y = bi – мнимой части.

Плоскость, точками которой являются комплексные числа – комплексная плоскость.

На рисунке комплексному числу z = (a, b) соответствует точка M(x, y) .

Задание. Изобразите на координатной плоскости комплексные числа:

3.3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число на плоскости имеет координаты точки M (x; y) . При этом:

Запись комплексного числа - тригонометрическая форма комплексного числа.

Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается . Модуль – неотрицательное вещественное число. Для .

Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда z = 0, т.е. a = b = 0 .

Число φ называется аргументом z и обозначается . Аргумент z определен неоднозначно, как и полярный угол в полярной системе координат, а именно с точностью до слагаемого кратного 2π.

Тогда принимаем: , где φ – наименьшее значение аргумента. Очевидно, что

.

При более глубоком изучении темы вводится вспомогательный аргумент φ*, такой, что

Пример 1 . Найти тригонометрическую форму комплексного числа .

Решение. 1) считаем модуль: ;

2) ищем φ: ;

3) тригонометрическая форма:

Пример 2. Найти алгебраическую форму комплексного числа .

Здесь достаточно подставить значения тригонометрических функций и преобразовать выражение:

Пример 3. Найти модуль и аргумент комплексного числа ;

1) ;

2) ; φ – в 4 четверти:

3.4. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме

· Сложение и вычитание удобнее выполнять с комплексными числами в алгебраической форме:

· Умножение – при помощи несложных тригонометрических преобразований можно показать, что при умножении модули чисел перемножаются, а аргументы складываются: ;

Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами [г, (р) , где г - расстояние точки от начала координат, а (р - угол, который составляет радиус - вектор этой точки с положительным направлением оси Ох. Положительным направлением изменения угла (р считается направление против часовой стрелки. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат: х = г cos ср,у = г sin (р ,

получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

z - r{sin (p + i sin

где г

Xі + у2 , (р - аргумент комплексного числа, который находят из

л X . у у

формул cos (р - -, sin^9 = - или в силу того, что tg(p - -, (p-arctg

Заметим, что при выборе значений ср из последнего уравнения необходимо учитывать знаки х и у.

Пример 47. Записать в тригонометрической форме комплексное число 2 = -1 + л/З / .

Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа:

= yj 1 + 3 = 2 . Угол ср найдем из соотношений cos (р = -, sin(p = - . Тогда

получим cos(p = -,suup

у/з г~

• - -. Очевидно, точка z = -1 + V3-/ находится
• 2 к 3

во второй четверти: (р = 120°

Подставляя

2 к. . cos--h; sin

в формулу (1) найденные 27Г Л

Замечание. Аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2п. Тогда через сп^ г обозначают

значение аргумента, заключенное в пределах (р 0 %2 Тогда

А)^г = + 2кк .

Используя известную формулу Эйлера е, получаем показательную форму записи комплексного числа.

Имеем г = г{со^(р + і?,п(р)=ге,

Действия над комплексными числами

• 1. Сумма двух комплексных чисел г, = Х] + у х / и г 2 - х 2 +у 2 / определяется согласно формуле г! +2 2 = (х, +^2) + (^1 + ^2)‘ г
• 2. Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число г = г х - г 2 , если г 2 +г = г х,

является разностью комплексных чисел 2, и г 2 . Тогда г = (х, - х 2 ) + (у, - у 2) /.

• 3. Произведение двух комплексных чисел г х = х, +у, -г и 2 2 = х 2 + У2 ‘ г определяется ПО формуле
• *1*2 =(* +У "0(Х 2 + Т 2 -0= Х 1 Х 2 У 1 2 -1 +х У2 " * + У 1 У 2 " ^ =

= {хх 2 ~УУ 2)+{ Х У2 + Х 2У)-"-

В частности, г-г = (х + у-г)(х-у /)= х 2 +у 2 .

Можно получить формулы умножения комплексных чисел в показательной и тригонометрической формах. Имеем:

• 1^ 2 - Г х е 1 = }Г 2 е > = Г]Г 2 cOs{(P + ср 2) + isin
• 4. Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная

умножению, т.е. число г-- называется частным от деления г! на г 2 ,

если г х - 1 2 ? 2 . Тогда

Х + Ті _ (*і + ІУ 2 ~ 1 У2) х 2 + ІУ2 ( 2 + ^У 2){ 2 ~ 1 У 2 )

х,х 2 + /у,х 2 - іх х у 2 - і 2 у х у 2 (х х х 2 + у х у 2 )+ /(- х,у 2 + Х 2 У])

2 2 х 2 +У 2

1 е

і(р г

• - 1У е "(1 Фг) - И.сОї{(Р -ср 1)+ І - (р -,)] >2 >2
• 5. Возведение в целую положительную степень комплексного числа лучше производить, если число записано в показательной или тригонометрической формах.

Действительно, если г = ге 1 то

={ге,) = г п е т = г" (со8 пср+іьт гкр).

Формула г" =г п (cosn(p+is n(p) называется формулой Муавра.

6. Извлечение корня п- й степени из комплексного числа определяется как операция, обратная возведению в степень п, п- 1,2,3,... т.е. комплексное число = у[г называется корнем п- й степени из комплексного числа

г, если г = г х . Из этого определения следует, что г - г" , а г х = л/г. (р-пср х, а ср^-ср/п , что следует из формулы Муавра, записанной для числа = г/*+ іьіпп(р).

Как было отмечено выше, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2ж. Поэтому = (р + 2пк , а аргумент числа г, зависящий от к, обозначим (р к и бу

дем вычислять по формуле (р к = - + . Ясно, что существует п ком-

плексных чисел, п -я степень которых равна числу 2. Эти числа имеют один

и тот же модуль, равный у[г, а аргументы этих чисел получаются при к = 0, 1, п - 1. Таким образом, в тригонометрической форме корень и-й степени вычисляют по формуле:

(р + 2кп . . ср + 2кп

, к = 0, 1, 77-1,

.(р+2ктг

а в показательной форме - по формуле л[г - у[ге п

Пример 48. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме:

а) (1-/Ч/2) 3 (3 + /)

• (1 - /л/2) 3 (з + /) = (1 - Зл/2/ + 6/ 2 - 2 л/2 / ? 3)(3 + /) =
• (1 - Зл/2/ - 6 + 2л/2/ДЗ + /)=(- 5 - л/2/ДЗ + /) =

15-Зл/2/-5/-л/2/ 2 = -15 - Зл/2/-5/+ л/2 = (-15 +л/2)-(5 +Зл/2)/;

Пример 49. Возвести число г = Уз - / в пятую степень.

Решение. Получим тригонометрическую форму записи числа г.

Г = л/3 + 1 =2, С08 (р - -, 5ІІ7 (р =

• (1 - 2/Х2 + /)
• (з-,)

О - 2.-Х2 + о

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (з-О " (з-О

З/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-і) ’з+/
• 9 + 1 з_±.
• 5 2 1 "

Отсюда о- -, а г = 2

Муавра получим: і -2

/ ^ _ 7Г, . ?Г

• -СШ--ІБІП -

• --Ь / -

= -(л/З +г)= -2 .

Пример 50. Найти все значения

Решение, г = 2, а ср найдем из уравнении соь(р = -,зт--.

Эта точка 1 - /д/з находится в четвертой четверти, т.е. ф = --. Тогда

• 1 - 2
• ( ( УГ Л

Значения корня находим из выраже

V1 - /л/з = л/2

• --+ 2А:/г ---ь 2 кк
• 3 . . 3

С08--1- і 81П-

При к - 0 имеем 2 0 = л/2

Можно найти значения корня из числа 2, представив число в показа

-* К/ 3 + 2 кл

При к = 1 имеем еще одно значение корня:

• 7Г. 7Г _
• ---ь27г ---ь2;г
• 3 . . з

7Г . . 7Г Л -С05- + 181П - 6 6

• --Н -

со? - 7Г + /5Ш - Я"

л/3__т_

тельной форме. Так как г= 2, а ср = , то г = 2е 3 , а у[г = у/2е 2

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА XI

§ 256. Тригонометрическая форма комплексных чисел

Пусть комплексному числу а + bi соответствует вектор OA > с координатами (а, b ) (см. рис. 332).

Обозначим длину этого вектора через r , а угол, который он образует с осью х , через φ . По определению синуса и косинуса:

a / r = cos φ , b / r = sin φ .

Поэтому а = r cos φ , b = r sin φ . Но в таком случае комплексное число а + bi можно записать в виде:

а + bi = r cos φ + ir sin φ = r (cos φ + i sin φ ).

Как известно, квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат. Поэтому r 2 = a 2 + b 2 , откуда r = √a 2 + b 2

Итак, любое комплексное число а + bi можно представить в виде :

а + bi = r (cos φ + i sin φ ), (1)

где r = √a 2 + b 2 , а угол φ определяется из условия:

Такая форма записи комплексных чисел называется тригонометрической .

Число r в формуле (1) называется модулем , а угол φ - аргументом , комплексного числа а + bi .

Если комплексное число а + bi не равно нулю, то модуль его положителен; если же а + bi = 0, то а = b = 0 и тогда r = 0.

Модуль любого комплексного числа определен однозначно.

Если комплексное число а + bi не равно нулю, то аргумент его определяется формулами (2) однозначно с точностью до угла, кратного 2π . Если же а + bi = 0, то а = b = 0. В этом случае r = 0. Из формулы (1) легко понять, что в качестве аргумента φ в данном случае можно выбрать любой угол: ведь при любом φ

0 (cos φ + i sin φ ) = 0.

Поэтому аргумент нуля не определен.

Модуль комплексного числа r иногда обозначают | z |, а аргумент arg z . Рассмотрим несколько примеров на представление комплексных чисел в тригонометрической форме.

Пример. 1 . 1 + i .

Найдем модуль r и аргумент φ этого числа.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Следовательно, sin φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 , откуда φ = π / 4 + 2n π .

Таким образом,

1 + i = √ 2 ,

где п - любое целое число. Обычно из бесконечного множества значений аргумента комплексного числа выбирают то, которое заключено между 0 и 2π . В данном случае таким значением является π / 4 . Поэтому

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i sin π / 4)

Пример 2. Записать в тригонометрической форме комплексное число √ 3 - i . Имеем:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2 , sin φ = - 1 / 2

Поэтому с точностью до угла, кратного 2π , φ = 11 / 6 π ; следовательно,

√ 3 - i = 2(cos 11 / 6 π + i sin 11 / 6 π ).

Пример 3 Записать в тригонометрической форме комплексное число i .

Комплексному числу i соответствует вектор OA > , оканчивающийся в точке А оси у с ординатой 1 (рис. 333). Длина такого вектора равна 1, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен π / 2 . Поэтому

i = cos π / 2 + i sin π / 2 .

Пример 4. Записать в тригонометрической форме комплексное число 3.

Комплексному числу 3 соответствует вектор OA > х абсциссой 3 (рис. 334).

Длина такого вектора равна 3, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен 0. Поэтому

3 = 3 (cos 0 + i sin 0),

Пример 5. Записать в тригонометрической форме комплексное число -5.

Комплексному, числу -5 соответствует вектор OA > , оканчивающийся в точке оси х с абсциссой -5 (рис. 335). Длина такого вектора равна 5, а угол, который он образует с осью абсцисс, равен π . Поэтому

5 = 5(cos π + i sin π ).

Упражнения

2047. Данные комплексные числа записать в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Указать на плоскости множества точек, изображающих комплексные числа, модули г и аргументы ф которых удовлетворяют условиям:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Могут ли модулем комплексного числа одновременно быть числа r и - r ?

2050. Могут ли аргументом комплексного числа одновременно быть углы φ и - φ ?

Данные комплексные числа представить в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:

2051*. 1 + cos α + i sin α . 2054*. 2(cos 20° - i sin 20°).

2052*. sin φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i sin 15°).

2.3. Тригонометрическая форма комплексных чисел

Пусть вектор задается на комплексной плоскости числом .

Обозначим через φ угол между положительной полуосью Ox и вектором (угол φ считается положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае).

Обозначим длину вектора через r. Тогда . Обозначим также

Запись отличного от нуля комплексного числа z в виде

называется тригонометрической формой комплексного числа z. Число r называется модулем комплексного числа z, а число φ называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Arg z.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа – (формула Эйлера) – показательная форма записи комплексного числа:

У комплексного числа z имеется бесконечно много аргументов: если φ0 – какой-либо аргумент числа z, то все остальные можно найти по формуле

Для комплексного числа аргумент и тригонометрическая форма не определяются.

Таким образом, аргументом отличного от нуля комплексного числа является любое решение системы уравнений:

(3)

Значение φ аргумента комплексного числа z, удовлетворяющее неравенствам , называется главным и обозначается arg z.

Аргументы Arg z и arg z связаны равенством

, (4)

Формула (5), является следствием системы (3), поэтому все аргументы комплексного числа удовлетворяют равенству (5), но не все решения φ уравнения (5) являются аргументами числа z.

Главное значение аргумента отличного от нуля комплексного числа находиться по формулам:

Формулы умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме имеют следующий вид:

. (7)

При возведении в натуральную степень комплексного числа используется формула Муавра:

При извлечении корня из комплексного числа используется формула:

, (9)

где k=0, 1, 2, …, n-1.

Задача 54. Вычислите , где .

Представим решение данного выражения в показательной форме записи комплексного числа: .

Если , то .

Тогда , . Поэтому , тогда и , где .

Ответ: , при .

Задача 55. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

Так как тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид , тогда:

а) В комплексном числе : .

,

Поэтому

б) , где ,

г) , где ,

е) .

ж) , а , то .

Поэтому

Ответ: ; 4; ; ; ; ; .

Задача 56. Найдите тригонометрическую форму комплексного числа

.

Пусть , .

Тогда , , .

Поскольку и , , то , а

Следовательно, , поэтому

Ответ: , где .

Задача 57. Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произведите указанные действия: .

Представим числа и в тригонометрической форме.

1) , где тогда

Находим значение главного аргумента :

Подставим значения и в выражение , получим

2) , где тогда

Тогда

3) Найдем частное

Полагая k=0, 1, 2, получим три различных значения искомого корня:

Если , то

если , то

если , то .

Ответ: :

:

: .

Задача 58. Пусть , , , – различные комплексные числа и . Докажите, что

а) число является действительным положительным числом;

б) имеет место равенство:

а) Представим данные комплексные числа в тригонометрической форме:

Так как .

Предположим, что . Тогда

.

Последнее выражение является положительным числом, так как под знаками синусов стоят числа из интервала .

так как число вещественно и положительно. Действительно, если a и b – комплексные числа и вещественно и больше нуля, то .

Кроме того,

следовательно, нужное равенство доказано.

Задача 59. Запишите в алгебраической форме число .

Представим число в тригонометрической форме, а затем найдем его алгебраическую форму. Имеем . Для получаем систему:

Отсюда следует равенство: .

Применяя формулу Муавра: ,

получаем

Найдена тригонометрическая форма заданного числа.

Запишем теперь это число в алгебраической форме:

.

Ответ: .

Задача 60. Найдите сумму , ,

Рассмотрим сумму

Применяя формулу Муавра, найдем

Эта сумма представляет собой сумму n членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом .

Применяя формулу для суммы членов такой прогрессии, имеем

Выделяя мнимую часть в последнем выражении, находим

Выделяя действительную часть, получаем также следующую формулу: , , .

Задача 61. Найдите сумму:

а) ; б) .

По формуле Ньютона для возведения в степень имеем

По формуле Муавра находим:

Приравнивая вещественные и мнимые части полученных выражений для , имеем:

и .

Эти формулы в компактном виде можно записать так:

,

, где - целая часть числа a.

Задача 62. Найдите все , для которых .

Поскольку , то, применяя формулу

, Для извлечения корней, получаем ,

Следовательно, , ,

, .

Точки, соответствующие числам , расположены в верши­нах квадрата, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в точке (0;0) (рис. 30).

Ответ: , ,

, .

Задача 63. Решите уравнение , .

По условию ; поэтому данное уравнение не имеет корня , и, значит, оно равносильно уравнению.

Для того чтобы число z было корнем данного уравнения, нуж­но, чтобы число было корнем п-й степени из числа 1.

Отсюда заключаем, что исходное уравнение имеет корней , определенных из равенств

,

Таким образом,

,

т. е. ,

Ответ: .

Задача 64. Решите во множестве комплексных чисел уравнение .

Так как число не является корнем данного уравнения, то при данное уравнение равносильно уравнению

Т. е. уравнению .

Все корни этого уравнения получаются из формулы (см. задачу 62):

; ; ; ; .

Задача 65. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: . (2-й способ решения задачи 45)

Пусть .

Комплексным числам, имеющим одинаковые модули, соответствуют точки плоскости, лежащие на окружности с центром в начале координат, поэтому неравенству удовлетворяют все точки открытого кольца, ограниченного окружностями с общим центром в начале координат и радиусами и (рис. 31). Пусть некоторая точка комплексной плоскости соответствует числу w0. Число , имеет модуль, в раз меньший модуля w0, аргумент, на больший аргумента w0. С геометрической точки зрения точку, соответствующую w1, можно получить, используя гомотетию с центром в начале координат и коэффициентом , а также поворот относительно начала координат на угол против часовой стрелки. В результате применения этих двух преобразований к точкам кольца (рис. 31) последнее перейдет в кольцо, ограниченное окружностями с тем же центром и радиусами 1 и 2 (рис. 32).

Преобразование реализуется с помощью параллельного переноса на вектор . Перенося кольцо с центром в точке на указанный вектор, получим кольцо такого же размера с центром в точке (рис. 22).

Предложенный способ, использующий идею геометрических преобразований плоскости, наверное, менее удобен в описании, но весьма изящен и эффективен.

Задача 66. Найдите , если .

Пусть , тогда и . Исходное равенство примет вид . Из условия равенства двух комплексных чисел получим , , откуда , . Таким образом, .

Запишем число z в тригонометрической форме:

, где , . Согласно формуле Муавра, находим .

Ответ: – 64.

Задача 67. Для комплексного числа найдите все комплексные числа , такие, что , а .

Представим число в тригонометрической форме:

. Отсюда , . Для числа получим , может быть равен либо .

В первом случае , во втором

.

Ответ: , .

Задача 68. Найдите сумму таких чисел , что . Укажите одно из таких чисел.

Заметим, что уже из самой формулировки задачи можно понять, что сумма корней уравнения можно найти без вычисления самих корней. Действительно, сумма корней уравнения есть коэффициент при , взятый с противоположным знаком (обобщенная теорема Виета), т.е.

Учащихся, школьную документацию, сделать выводы о степени усвоения данного понятия. Подвести итог об исследовании особенностей математического мышления и процесса формирования понятия комплексного числа. Описание методов. Диагностические: I этап. Беседа проводилась с учителем математики, которая в 10Є классе преподает алгебру и геометрию. Беседа состоялась по истечении некоторого времени с начала...

Резонанс" (!)), включающее также оценку собственного поведения. 4. Критическое оценивание своего понимания ситуации (сомнения). 5. Наконец, использование рекомендаций юридической психологии (учет юристом психологических аспектов выполняемых профессиональных действий - профессионально-психологическая подготовленность). Рассмотрим теперь психологический анализ юридических фактов. ...

Математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы: 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики. 2. Проведение разработанного факультативного курса. 3. Проведение диагностирующей контрольной...

Познавательные задачи призваны лишь дополнить существующие средства обучения и должны находиться в целесообразном сочетании со всеми традиционными средствами и элементами учебного процесса. Отличие учебных задач в преподавании гуманитарных наук от точных, от математических задач состоит лишь в том, что в исторических задачах отсутствуют формулы, жесткие алгоритмы и т.д., что усложняет их решение. ...