Равнобедренным является такой треугольник , у которого длины двух его сторон равны между собой.
При решении задач по теме «Равнобедренный треугольник» необходимо пользоваться следующими известными свойствами :
1.
Углы, лежащие напротив равных сторон равны между собой.
2.
Биссектрисы, медианы и высоты, проведенные из равных углов, равны между собой.
3.
Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию равнобедренного треугольника, между собой совпадают.
4.
Центр вписанной и центр описанной окружностей лежат на высоте, а значит и на медиане и биссектрисе, проведенной к основанию.
5.
Углы, которые являются равными в равнобедренном треугольнике всегда острые.
Треугольник является равнобедренным, если у него присутствуют следующие признаки :
1.
Два угла у треугольника равны.
2.
Высота совпадает с медианой.
3.
Биссектриса совпадает с медианой.
4.
Высота совпадает с биссектрисой.
5.
Две высоты треугольника равны.
6.
Две биссектрисы треугольника равны.
7.
Две медианы треугольника равны.
Рассмотрим несколько задач по теме «Равнобедренный треугольник» и приведем подробное их решение.
Задача 1.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равна 8, а основание относится к боковой стороне как 6: 5. Найти, на каком расстоянии от вершины треугольника находится точка пересечения его биссектрис.
Решение.
Пусть дан равнобедренный треугольник АВС (рис. 1) .
1) Так как АС: ВС = 6: 5, то АС = 6х и ВС = 5х. ВН – высота, проведенная к основанию АС треугольника АВС.
Так как точка Н – середина АС (по свойству равнобедренного треугольника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.
ВС 2 = ВН 2 + НС 2 ;
(5х) 2 = 8 2 + (3х) 2 ;
х = 2, тогда
АС = 6х = 6 · 2 = 12 и
ВС = 5х = 5 · 2 = 10.
3) Так как точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности, то
ОН = r . Радиус вписанной в треугольник АВС окружности найдем по формуле
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;
p = 1/2 · (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, тогда ОН = r = 48/16 = 3.
Отсюда ВО = ВН – ОН; ВО = 8 – 3 = 5.
Ответ: 5.
Задача 2.
В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Площади треугольников ABD и ADC равны 10 и 12. Найти увеличенную в три раза площадь квадрата, построенного на высоте этого треугольника, проведенной к основанию АС.
Решение.
Рассмотрим треугольник АВС – равнобедренный, АD – биссектриса угла А (рис. 2).
1) Распишем площади треугольников ВАD и DAC:
S BAD = 1/2 · AB · AD · sin α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.
2) Найдем отношение площадей:
S BAD /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.
Так как S BAD = 10, S DAC = 12, то 10/12 = АВ/АС;
АВ/АС = 5/6, тогда пусть АВ = 5х и АС = 6х.
АН = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.
3) Из треугольника АВН – прямоугольного по теореме Пифагора АВ 2 = АН 2 + ВН 2 ;
25х 2 = ВН 2 + 9х 2 ;
4) S A ВС = 1/2 · AС · ВН; S A В C = 1/2 · 6х · 4х = 12х 2 .
Так как S A ВС = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, тогда 22 = 12х 2 ;
х 2 = 11/6; ВН 2 = 16х 2 = 16 · 11/6 = 1/3 · 8 · 11 = 88/3.
5) Площадь квадрата равна ВН 2 = 88/3; 3 · 88/3 = 88.
Ответ: 88.
Задача 3.
В равнобедренном треугольнике основание равно 4, а боковая сторона равна 8. Найти квадрат высоты, опущенной на боковую сторону.
Решение.
В треугольнике АВС – равнобедренном ВС = 8, АС = 4 (рис. 3).
1) ВН – высота, проведенная к основанию АС треугольника АВС.
Так как точка Н – середина АС (по свойству равнобедренного треугольника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 4 = 2.
2) Из треугольника ВНС – прямоугольного по теореме Пифагора ВС 2 = ВН 2 + НС 2 ;
64 = ВН 2 + 4;
3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), а так же S ABC = 1/2 · (АМ · ВС), тогда приравняем правые части формул, получим
1/2 · AC · BH = 1/2 · АМ · ВС;
АМ = (AC · BH)/ВС;
АМ = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.
Ответ: 15.
Задача 4.
В равнобедренном треугольнике основание и опущенная на него высота, равны 16. Найти радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение.
В треугольнике АВС – равнобедренном основание АС = 16, ВН = 16 – высота, проведенная к основанию АС (рис. 4) .
1) АН = НС = 8 (по свойству равнобедренного треугольника).
2) Из треугольника ВНС – прямоугольного по теореме Пифагора
ВС 2 = ВН 2 + НС 2 ;
ВС 2 = 8 2 + 16 2 = (8 · 2) 2 + 8 2 = 8 2 · 4 + 8 2 = 8 2 · 5;
3) Рассмотрим треугольник АВС: по теореме синусов 2R = AB/sin C, где R – радиус описанной около треугольника АВС окружности.
sin C = BH/BC (из треугольника ВНС по определению синуса).
sin C = 16/(8√5) = 2/√5, тогда 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.
Ответ: 10.
Задача 5.
Длина высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, равна 36, а радиус вписанной окружности равен 10. Найти площадь треугольника.
Решение.
Пусть дан равнобедренный треугольник АВС.
1) Так как центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис, то О ϵ ВН и АО является биссектрисой угла А, а ток же ОН = r = 10 (рис. 5) .
2) ВО = ВН – ОН; ВО = 36 – 10 = 26.
3) Рассмотрим треугольник АВН. По теореме о биссектрисе угла треугольника
АВ/АН = ВО/ОН;
АВ/АН = 26/10 = 13/5, тогда пусть АВ = 13х и АН = 5х.
По теореме Пифагора АВ 2 = АН 2 + ВН 2 ;
(13х) 2 = 36 2 + (5х) 2 ;
169х 2 = 25х 2 + 36 2 ;
144х 2 = (12 · 3) 2 ;
144х 2 = 144 · 9;
х = 3, тогда АС = 2 · АН = 10х = 10 · 3 = 30.
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Ответ: 540.
Задача 6.
В равнобедренном треугольнике две стороны равны 5 и 20. Найти биссектрису угла при основании треугольника.
Решение.
1) Предположим, что боковые стороны треугольника равны 5, а основание – 20.
Тогда 5 + 5 < 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (рис. 6).
2) Пусть LC = x, тогда BL = 20 – x. По теореме о биссектрисе угла треугольника
АВ/АС = ВL/LC;
20/5 = (20 – x)/x,
тогда 4х = 20 – x;
Таким образом, LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.
3) Воспользуемся формулой биссектрисы угла треугольника:
AL 2 = AB · AC – BL · LC,
тогда AL 2 = 20 · 5 – 4 · 16 = 36;
Ответ: 6.
Остались вопросы? Не знаете, как решать геометрические задачи?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
VIII . Группы задач на построение.
Решение групп задач с использованием вспомогательного треугольника.
Суть способа – построение вспомогательных треугольников и использование их свойств и вновь полученных элементов для окончательного решения задачи.
Анализ построения состоит из следующих этапов:
Ищи при анализе вспомогательный треугольник.
Если появятся новые элементы, с помощью которых можно уже построить треугольник АВС, то цель достигнута.
Если этого не произойдет, то, может быть, можно построить еще один вспомогательный треугольник, который даст недостающие элементы.
Разберём суть метода на примерах.
Задача 1.Построить равнобедренный треугольник АВС (b = c ) по a , h b .
Ищем вспомогательный треугольник. Очевидно, что таким треугольником удобно считать треугольник CDB.
Это даст угол С, следовательно, и угол АВС. Итак, есть а, угол В, угол С, значит можно построить треугольник АВС. Схематично это будем записывать так:
(а, h b) → Δ CDB → < C.
(a, < B, < C) → Δ ABC.
Задания для самостоятельного решения:
Используя рассуждения, аналогичные приведенным, рекомендуем построить равнобедренный треугольник (b=c) по следующим данным:
а) < А, h b ;
б) < В, h с;
г) < В, h b ;
е) < С, h b .
Задача 2.Построить треугольник по радиусу r вписанной окружности, углу А и углу В.
Пусть I – центр окружности, вписанной в треугольник АВС.
(r; ½ < А) → Δ AID → |AD|;
(r; ½ < В) → Δ ВID → |ВD|;
(|AD| + |ВD| = |AВ|) → (с, < А, < В) → Δ ABC.
Задания для самостоятельного решения:
Построить треугольник по следующим элементам:
а) a, h c , h b ; б) a, h а, h b ; в) a, m a , m b ;
г) < A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;
ж) b, h b , m b (где m – медианы, l – биссектрисы, h – высоты).
Самостоятельно:
Решение групп задач с опорой на основную.
Основная задача:
построить ромб ABCD по диагонали BD и высоте BM. (Δ BHD → < BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);
построить трапецию по четырем сторонам.
Построить треугольник по двум сторонам и углу, заключенному между ними.
Основная задача:
Построить прямоугольный треугольник по двум катетам.
Построить ромб по двум диагоналям.
Построить прямоугольник по двум неравным сторонам.
Построить параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.
Построить прямоугольник по диагоналям и углу между ними.
Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам.
Задачи для самостоятельного решения:
Основная задача:
Построить равнобедренный треугольник по основанию и прилежащему углу.
Построить прямоугольный треугольник по катету и прилежащему острому углу.
Построить ромб по углу и диагонали, проходящей через вершину этого угла.
Построить равнобедренный треугольник по высоте и углу при вершине.
Построить квадрат по данной диагонали.
Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.
Задачи для самостоятельного решения:
Основная задача:
Построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании.
Построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при вершине.
Построить треугольник по трём сторонам.
Задачи для самостоятельного решения:
Основная задача:
Построить равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне.
Построить ромб по стороне и диагонали.
Построить параллелограмм по двум неравным сторонам и диагонали.
Построить параллелограмм по стороне и двум диагоналям.
Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
Задачи для самостоятельного решения:
Построить равнобедренный треугольник по высоте и боковой стороне.
Построить равнобедренный треугольник по основанию и перпендикуляру, опущенному с конца основания на боковую сторону.
Построить параллелограмм по основанию, высоте и диагонали.
Построить ромб по высоте и диагонали.
Построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущенной из неё.
Построить треугольник по основанию, высоте и боковой стороне.
Литература:
Б. И. Аргунов, М. Б. Балк “Геометрические построения на плоскости”, М, “Просвещение” 1955г.
Глейзер Г. И. “История математики в школе” IV – VI кл., М, “Просвещение”, 1981 г.
И. Гольденблант “Опыт решения геометрических задач на построение” “Математика в школе” № 3, 1946 г.
И. А. Кушнир “Об одном способе решения задач на построение” “Математика в школе” № 2, 1984 г.
А. И. Мостовой “Применять различные способы решения задач на построение” “Математика в школе” № 5, 1983 г.
А. А. Попова “Математика” Учебное пособие. “Челябинский государственный педагогический университет”, 2005 г.
Е. М. Селезнёва, М. Н. Серебрякова “Геометрические построения в I – V классах средней школы” Методические разработки. Свердловск, 1974 г.
Как построить равнобедренный треугольник? Это легко сделать с помощью линейки, карандаша и клеточек тетради.
Построение равнобедренного треугольника начинаем с основания. Чтобы рисунок получился ровным, количество клеточек в основании должно быть четным числом.
Делим отрезок — основание треугольника — пополам.
Вершину треугольника можно выбрать на любой высоте от основания, но обязательно ровно над срединой.
Как построить остроугольный равнобедренный треугольник?
Углы при основании равнобедренного треугольника могут быть только острыми. Чтобы равнобедренный треугольник получился остроугольным, угол при вершине тоже должен быть острым.
Для этого вершину треугольника выбираем повыше, подальше от основания.
Чем выше вершина, тем меньше угол при вершине. Углы при основании при этом, соответственно, увеличиваются.
Как построить тупоугольный равнобедренный треугольник?
С приближением вершины равнобедренного треугольника к основанию градусная мера угла при вершине увеличивается.
Значит, чтобы построить равнобедренный тупоугольный треугольник, вершину выбираем пониже.
Как построить равнобедренный прямоугольный треугольник?
Чтобы построить равнобедренный прямоугольный треугольник, надо вершину выбрать на расстоянии, равном половине основания (это обусловлено свойствами равнобедренного прямоугольного треугольника).
Например, если длина основания — 6 клеточек, то вершину треугольника располагаем на высоте 3 клеточек над серединой основания. Обратите внимание: при этом каждая клеточка у углов при основании делится по диагонали.
Построение равнобедренного прямоугольного треугольника можно начать с вершины.
Выбираем вершину, от нее под прямым углом откладываем равные отрезки вверх и вправо. Это — боковые стороны треугольника.
Соединим их и получим равнобедренный прямоугольный треугольник.
Построение равнобедренного треугольника с помощью циркуля и линейки без делений рассмотрим в другой теме.